微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (- 7 x) - 1}{- 2 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{- 2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (- 7 x) - 1}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (- 7 x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \cos (- 7 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (lim_{x \to 0} - 7 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

$- 7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (- 7 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (- 7 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + \cos (- 7 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + \cos (- 7 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.6.1.1

$- 7$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + \cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (- 7 x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (- 7 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (- 7 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x + \cos (- 7 x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.4.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = - 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 7 x$ とします。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.1.3

$u$ のすべての発生を $- 7 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.2

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \cdot - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \cdot - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.4

$- 7$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \cdot - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.5

$- 7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$1 + 7 \sin (- 7 x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x)}{1}$

ステップ 2.4

$1 + 7 \sin (- 7 x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} 1 + 7 \sin (- 7 x)$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- 2} (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 7 \sin (- 7 x))$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2} (1 + lim_{x \to 0} 7 \sin (- 7 x))$

ステップ 3.3

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 lim_{x \to 0} \sin (- 7 x))$

ステップ 3.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 \sin (lim_{x \to 0} - 7 x))$

ステップ 3.5

$- 7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 \sin (- 7 lim_{x \to 0} x))$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 \sin (- 7 \cdot 0))$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} (1 + 7 \sin (- 7 \cdot 0))$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 7$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (1 + 7 \sin (0))$

ステップ 5.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{1}{2} (1 + 7 \cdot 0)$

ステップ 5.2.3

$7$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (1 + 0)$

ステップ 5.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 5.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{2}$

10進法形式：

$- 0.5$

微分積分 例

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