微分積分例

$\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$

ステップ 1

$e^{8 θ}$ と $\sin (9 θ)$ を並べ替えます。

$\int \sin (9 θ) e^{8 θ} d θ$

ステップ 2

$u = \sin (9 θ)$ と $d v = e^{8 θ}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (9 \cos (9 θ)) d θ$

ステップ 3

$\frac{1}{8} \cdot 9$ は $θ$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8} \cdot 9$ を積分の外に移動させます。

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

ステップ 4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{8}$ と $e^{8 θ}$ をまとめます。

$\sin (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

ステップ 4.2

$\sin (9 θ)$ と $\frac{e^{8 θ}}{8}$ をまとめます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

ステップ 4.3

$\frac{1}{8}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

ステップ 4.4

$e^{8 θ}$ と $\cos (9 θ)$ を並べ替えます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int \cos (9 θ) e^{8 θ} d θ)$

ステップ 5

$u = \cos (9 θ)$ と $d v = e^{8 θ}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (- 9 \sin (9 θ)) d θ))$

ステップ 6

$\frac{1}{8} \cdot - 9$ は $θ$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8} \cdot - 9$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{8}$ と $e^{8 θ}$ をまとめます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

ステップ 7.2

$\cos (9 θ)$ と $\frac{e^{8 θ}}{8}$ をまとめます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

ステップ 7.3

$\frac{1}{8}$ と $- 9$ をまとめます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} \cdot \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

ステップ 7.5

$\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ に $\frac{9}{8}$ をかけます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{8 \cdot 8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

ステップ 7.6

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$8$ に $8$ をかけます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

ステップ 7.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + 1 (\frac{9}{8}) (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

ステップ 7.6.3

$\frac{9}{8}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{9}{8} (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

ステップ 7.7

$\frac{- 9}{8}$ に $\frac{9}{8}$ をかけます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 9 \cdot 9}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

ステップ 7.8

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$- 9$ に $9$ をかけます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

ステップ 7.8.2

$8$ に $8$ をかけます。

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{64} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

ステップ 8

$\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ を解くと、 $\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}}$ であることが分かります。

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$9$ を $\cos (9 θ) e^{8 θ}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cdot (\cos (9 θ) e^{8 θ})}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

ステップ 9.1.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{145}{64}$ で割ります。

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.2

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ を $(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$ に書き換えます。

$(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$\frac{1}{8}$ と $\sin (9 θ)$ をまとめます。

$(\frac{\sin (9 θ)}{8} e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.3.2

$\frac{\sin (9 θ)}{8}$ と $e^{8 θ}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.3.3

$\cos (9 θ)$ と $\frac{9}{64}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64} e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.3.4

$e^{8 θ}$ と $\frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.3.5

$9$ を $\cos (9 θ)$ の左に移動させます。

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.1

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ の因数を並べ替えます。

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.2.1

書き換えます。

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.4.2.2

$9$ を $\cos (9 θ)$ の左に移動させます。

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cdot \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.4.2.3

不要な括弧を削除します。

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} \cdot 9 \cos (9 θ)}{64}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.1.4.3

$9$ を $e^{8 θ}$ の左に移動させます。

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.2

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$ を $(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ に書き換えます。

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

ステップ 9.3

$\frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}$ の因数を並べ替えます。

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$

微分積分 例

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