微分積分例

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + x^{2}}{x - 4}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{\frac{1 + x^{2}}{x - 4}}$ を ${(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = \frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

ステップ 4.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

ステップ 4.7

$f (x) = 1 + x^{2}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8.5

$2$ を $x - 4$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 \cdot (x - 4) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8.6

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8.8

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8.9.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 4.8.9.3

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 4.8.9.4

$3$ を ${(x - 4)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 \cdot {(x - 4)}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 4.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} {(\frac{x - 4}{1 + x^{2}})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.9.2

積の法則を $\frac{x - 4}{1 + x^{2}}$ に当てはめます。

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.5

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.6.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.5

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.7

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.8

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2}}$ に $\frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 8 x - 1) {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 4)}^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.9

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.10

指数を足して ${(x - 4)}^{2}$ に ${(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.6.10.1

${(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 ({(x - 4)}^{- \frac{2}{3}} {(x - 4)}^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.10.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + 2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.10.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.10.4

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.10.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.10.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.6.10.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{- 2 + 6}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.9.6.10.6.2

$- 2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例