微分積分例

$\int (\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 4.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int \sqrt{x} d x)$

ステップ 8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 10.2.2

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 4} + C$

ステップ 10.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{12} + C$

ステップ 10.2.4

$2$ を $2 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 (x^{\frac{3}{2}})}{12} + C$

ステップ 10.2.5

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.5.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

ステップ 10.2.5.2

共通因数を約分します。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

ステップ 10.2.5.3

式を書き換えます。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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