微分積分例

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{4 x}{x^{3}} d x$

ステップ 1

$x$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x^{3}} d x$

ステップ 1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} d x$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} d x$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} d x + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 3

$u = 8 x$ とします。次に $d u = 8 d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 8 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$8 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 3.1.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$8$ に $1$ をかけます。

$8$

ステップ 3.2

$u = 8 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 8 \cdot - 2$

ステップ 3.3

$8$ に $- 2$ をかけます。

$u_{lower} = - 16$

ステップ 3.4

$u = 8 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 8 \cdot 2$

ステップ 3.5

$8$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 16$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 16$

$u_{upper} = 16$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 16}^{16} \sqrt[3]{u} \frac{1}{8} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 4

$\sqrt[3]{u}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\int_{- 16}^{16} \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \int_{- 16}^{16} \sqrt[3]{u} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \int_{- 16}^{16} u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

ステップ 8

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 9.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 9.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} x^{- 2} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 (- x^{- 1}]_{- 2}^{2})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$16$ および $- 16$ で $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((\frac{3}{4} \cdot 16^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 (- x^{- 1}]_{- 2}^{2})$

ステップ 11.2

$2$ および $- 2$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((\frac{3}{4} \cdot 16^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$\frac{3}{4}$ と $16^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

ステップ 11.3.2

${(- 16)}^{\frac{4}{3}}$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{{(- 16)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

ステップ 11.3.3

$3$ を ${(- 16)}^{\frac{4}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

ステップ 11.3.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1})$

ステップ 11.3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2})$

ステップ 11.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 11.3.7

$- \frac{1}{2}$ から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- 2 (\frac{1}{2}))$

ステップ 11.3.8

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (\frac{- 2}{2})$

ステップ 11.3.9

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.9.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2}$

ステップ 11.3.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

ステップ 11.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.3.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (\frac{- 1}{1})$

ステップ 11.3.9.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \cdot - 1$

ステップ 11.3.10

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

ステップ 12.2

まとめる。

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} + \frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

ステップ 12.3

$\frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4})$ を掛けます。

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ステップ 12.3.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ をかけます。

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{8 \cdot 4} - 4$

ステップ 12.3.2

$8$ に $4$ をかけます。

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

ステップ 12.4

各項を簡約します。

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ステップ 12.4.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

ステップ 12.4.2

$8$ に $4$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{32} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{32} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

10進法形式：

$- 4$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例