微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.4

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.5

$\frac{- 3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.6.2.4

$- x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{2} - 9 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $- x^{2} - 18 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 18 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x - 18 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.3

$- 18$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 x - 18$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 x - 18$ です。

$- 2 x - 18$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x - 18 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x - 18 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $18$ を足します。

$- 2 x = 18$

ステップ 2.3

$- 2 x = 18$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 2 x = 18$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{18}{- 2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$18$ を $- 2$ で割ります。

$x = - 9$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$- 9$ を $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- 9$ で置換えます。

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$- 9$ を $3$ 乗します。

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2.2

$3$ を $- 729$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 1$ に $- 243$ をかけます。

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.4

指数を足して $- 9$ に ${(- 9)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1.4.1

$- 9$ に ${(- 9)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.1.2.1.4.1.1

$- 9$ を $1$ 乗します。

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

ステップ 3.1.2.1.4.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.5

$- 9$ を $3$ 乗します。

$f (- 9) = 243 - 729$

ステップ 3.1.2.2

$243$ から $729$ を引きます。

$f (- 9) = - 486$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $- 486$ です。

$- 486$

ステップ 3.2

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ で代入して $- 9$ 求めた点は、 $(- 9, - 486)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 9, - 486)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 9)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 9.1$ で置換えます。

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2$ に $- 9.1$ をかけます。

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

ステップ 5.2.2

$18.2$ から $18$ を引きます。

$f'' (- 9.1) = 0.2$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $0.2$ です。

$0.2$

ステップ 5.3

$- 9.1$ で二次導関数は $0.2$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 9)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 9)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 9, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 8.9$ で置換えます。

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 2$ に $- 8.9$ をかけます。

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

ステップ 6.2.2

$17.8$ から $18$ を引きます。

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.2$ です。

$- 0.2$

ステップ 6.3

$- 8.9$ で二次導関数は $- 0.2$ です。これは負の値なので、 $(- 9, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 9, \infty)$ で減少

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- 9, - 486)$ です。

$(- 9, - 486)$

ステップ 8

微分積分 例

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