微分積分例

$\int_{0}^{1} (e^{t} + 5 e^{5 t}) d t$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{0}^{1} e^{t} + 5 e^{5 t} d t$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

ステップ 3

$e^{t}$ の $t$ に関する積分は $e^{t}$ です。

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

ステップ 4

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{1} e^{5 t} d t$

ステップ 5

$u = 5 t$ とします。次に $d u = 5 d t$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = 5 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$5 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [5 t]$

ステップ 5.1.2

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$5 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 5.2

$u = 5 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

ステップ 5.3

$5$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.4

$u = 5 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

ステップ 5.5

$5$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 5$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

ステップ 8.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$e^{t}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{5} e^{u} d u$

ステップ 8.3

$\int_{0}^{5} e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{5} e^{u} d u$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{t}]_{0}^{1} + e^{u}]_{0}^{5}$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ および $0$ で $e^{t}$ の値を求めます。

$(e^{1}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{5}$

ステップ 10.2

$5$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(e^{1}) - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

簡約します。

$e - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

ステップ 10.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e - 1 \cdot 1 + (e^{5}) - e^{0}$

ステップ 10.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e - 1 + (e^{5}) - e^{0}$

ステップ 10.3.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e - 1 + e^{5} - 1 \cdot 1$

ステップ 10.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e - 1 + e^{5} - 1$

ステップ 10.3.6

$- 1$ から $1$ を引きます。

$e + e^{5} - 2$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e + e^{5} - 2$

10進法形式：

$149.13144093 \dots$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例