微分積分例

$\int \frac{10}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$10 \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2

$u = 1 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 1 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$10 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$10 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 3.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$10 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$10 \int u^{- 2} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$10 (- u^{- 1} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$10 (- u^{- 1} + C)$ を $10 (- \frac{1}{u}) + C$ に書き換えます。

$10 (- \frac{1}{u}) + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 \frac{1}{u} + C$

ステップ 5.2.2

$- 10$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$\frac{- 10}{u} + C$

ステップ 5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10}{u} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$- \frac{10}{1 + x} + C$

微分積分 例

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