微分積分例

$h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{5} + 5 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $5 x^{4} + 20 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{3}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

ステップ 1.2.3.3

$3$ に $20$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $h (x)$ の二次導関数は $20 x^{3} + 60 x^{2}$ です。

$20 x^{3} + 60 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$20 x^{2}$ を $20 x^{3} + 60 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$20 x^{2}$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$20 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$20 x^{2}$ を $60 x^{2}$ で因数分解します。

$20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (3) = 0$

ステップ 2.2.3

$20 x^{2}$ を $20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (3)$ で因数分解します。

$20 x^{2} (x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

最終解は $20 x^{2} (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$h (0) = {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$h (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$h (0) = 0 + 5 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.3

$5$ に $0$ をかけます。

$h (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$h (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$- 3$ を $h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$h (- 3) = {(- 3)}^{5} + 5 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 3$ を $5$ 乗します。

$h (- 3) = - 243 + 5 {(- 3)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 3$ を $4$ 乗します。

$h (- 3) = - 243 + 5 \cdot 81$

ステップ 3.3.2.1.3

$5$ に $81$ をかけます。

$h (- 3) = - 243 + 405$

ステップ 3.3.2.2

$- 243$ と $405$ をたし算します。

$h (- 3) = 162$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $162$ です。

$162$

ステップ 3.4

$h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ で代入して $- 3$ 求めた点は、 $(- 3, 162)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 3, 162)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 3, 162)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3.1$ で置換えます。

$h'' (- 3.1) = 20 {(- 3.1)}^{3} + 60 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 3.1$ を $3$ 乗します。

$h'' (- 3.1) = 20 \cdot - 29.791 + 60 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$20$ に $- 29.791$ をかけます。

$h'' (- 3.1) = - 595.82 + 60 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 3.1$ を $2$ 乗します。

$h'' (- 3.1) = - 595.82 + 60 \cdot 9.61$

ステップ 5.2.1.4

$60$ に $9.61$ をかけます。

$h'' (- 3.1) = - 595.82 + 576.6$

ステップ 5.2.2

$- 595.82$ と $576.6$ をたし算します。

$h'' (- 3.1) = - 19.22$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 19.22$ です。

$- 19.22$

ステップ 5.3

$- 3.1$ で二次導関数は $- 19.22$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 3)$ の区間で減少します。

$h'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 3, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (- \frac{27}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (- \frac{27}{8}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.5.1

$- \frac{27}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (\frac{- 27}{8}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.5.2

$4$ を $20$ で因数分解します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 4 (5) (\frac{- 27}{8}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.5.3

$4$ を $8$ で因数分解します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (5 (\frac{- 27}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.5.4

共通因数を約分します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (5 (\frac{- 27}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.5.5

式を書き換えます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = 5 (\frac{- 27}{2}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.6

$5$ と $\frac{- 27}{2}$ をまとめます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot - 27}{2} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.7

$5$ に $- 27$ をかけます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 135}{2} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 6.2.1.9

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 6.2.1.9.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

ステップ 6.2.1.9.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 6.2.1.10

$- 1$ を $2$ 乗します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 6.2.1.11

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

ステップ 6.2.1.12

$3$ を $2$ 乗します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (\frac{9}{2^{2}})$

ステップ 6.2.1.13

$2$ を $2$ 乗します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (\frac{9}{4})$

ステップ 6.2.1.14

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.14.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 4 (15) (\frac{9}{4})$

ステップ 6.2.1.14.2

共通因数を約分します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 4 \cdot (15 (\frac{9}{4}))$

ステップ 6.2.1.14.3

式を書き換えます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 15 \cdot 9$

ステップ 6.2.1.15

$15$ に $9$ をかけます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 135$

ステップ 6.2.2

$135$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 135 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.2.3

$135$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + \frac{135 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.4

公分母の分子をまとめます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 135 + 135 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.5.1

$135$ に $2$ をかけます。

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 135 + 270}{2}$

ステップ 6.2.5.2

$- 135$ と $270$ をたし算します。

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは $\frac{135}{2}$ です。

$\frac{135}{2}$

ステップ 6.3

$- \frac{3}{2}$ で二次導関数は $67.5$ です。これは正の値なので、 $(- 3, 0)$ の区間で増加します。

$h'' (x) > 0$ なので $(- 3, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$h'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0.1$ を $3$ 乗します。

$h'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$20$ に $0.001$ をかけます。

$h'' (0.1) = 0.02 + 60 {(0.1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$0.1$ を $2$ 乗します。

$h'' (0.1) = 0.02 + 60 \cdot 0.01$

ステップ 7.2.1.4

$60$ に $0.01$ をかけます。

$h'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

ステップ 7.2.2

$0.02$ と $0.6$ をたし算します。

$h'' (0.1) = 0.62$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0.62$ です。

$0.62$

ステップ 7.3

$0.1$ で二次導関数は $0.62$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$h'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- 3, 162)$ です。

$(- 3, 162)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例