微分積分例

$\int_{1}^{3} \frac{2 + y e^{y}}{y} d y$

ステップ 1

分数を複数の分数に分割します。

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} + \frac{y e^{y}}{y} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

ステップ 3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

ステップ 3.2

$e^{y}$ を $1$ で割ります。

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

ステップ 4

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

ステップ 5

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

ステップ 6

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + e^{y}]_{1}^{3}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

代入し簡約します。

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ステップ 7.1.1

$3$ および $1$ で $\ln (| y |)$ の値を求めます。

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{y}]_{1}^{3}$

ステップ 7.1.2

$3$ および $1$ で $e^{y}$ の値を求めます。

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e^{1}$

ステップ 7.1.3

簡約します。

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e$

ステップ 7.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) + e^{3} - e$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$2 \ln (\frac{3}{| 1 |}) + e^{3} - e$

ステップ 7.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$2 \ln (\frac{3}{1}) + e^{3} - e$

ステップ 7.3.3

$3$ を $1$ で割ります。

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

10進法形式：

$19.56447967 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例