微分積分例

$\int \frac{{(4 + 2 \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 1.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 1.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2

$u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $- d u = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 + 2 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.1.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 2.1.3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 2.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 2.1.3.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$0 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2.1.3.9

$2$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2.1.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.3.11

共通因数を約分します。

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.3.12

式を書き換えます。

$0 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.4

$0$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{2} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$

微分積分 例

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