微分積分例

$- 2 \sqrt{\sin (x)}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\sin (x)}$ を ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- 2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- 2 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 2 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 2 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$- 2 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 2 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- 2 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- 2 (\frac{{\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 10

$\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 11

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 14

$\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${\csc (x)}^{\frac{1}{2}}$ に変換します。

$- {\csc (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 15

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- {\csc (x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)$

微分積分 例

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