微分積分例

$y = x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 3} + \frac{3}{10} x^{6} - \frac{1}{2} x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 3} + \frac{3}{10} x^{6} - \frac{1}{2} x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x^{- 3}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ です。

$4 x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 x^{3} + \frac{- 3}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.2.4

$\frac{- 3}{2}$ と $x^{- 4}$ をまとめます。

$4 x^{3} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.2.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$4 x^{3} + \frac{- 3}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{3}{10}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{10} x^{6}$ の微分係数は $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{3}{10} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.3.3

$6$ と $\frac{3}{10}$ をまとめます。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{6 \cdot 3}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.3.4

$6$ に $3$ をかけます。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{18}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.3.5

$\frac{18}{10}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{18 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.3.6

$18$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$2$ を $18 x^{5}$ で因数分解します。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{2 (5)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - \frac{1}{2} (2 x)$

ステップ 1.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - 2 (\frac{1}{2}) x$

ステップ 1.4.4

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 2}{2} x$

ステップ 1.4.5

$\frac{- 2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 2 x}{2}$

ステップ 1.4.6

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2}$

ステップ 1.4.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

ステップ 1.4.6.2.2

共通因数を約分します。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.6.2.3

式を書き換えます。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- x}{1}$

ステップ 1.4.6.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - x$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{9 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - x - \frac{3}{2 x^{4}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{9 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - x - \frac{3}{2 x^{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{9}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{9 x^{5}}{5}$ の微分係数は $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{9}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.2.3

$5$ と $\frac{9}{5}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 9}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.2.4

$5$ に $9$ をかけます。

$\frac{45}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.2.5

$\frac{45}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{45 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.2.6

$45$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$5$ を $45 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (9 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.2.6.2.4

$9 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$9 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$9 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{2 x^{4}}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ です。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 2.5.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

ステップ 2.5.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.5.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.5.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.5.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

ステップ 2.5.5

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

ステップ 2.5.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

ステップ 2.5.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

ステップ 2.5.7

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

ステップ 2.5.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

ステップ 2.5.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

ステップ 2.5.8

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

ステップ 2.5.9

$4$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

ステップ 2.5.10

$4$ に $3$ をかけます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

ステップ 2.5.11

$\frac{12}{2}$ と $x^{- 5}$ をまとめます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

ステップ 2.5.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 5}$ を分母に移動させます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12}{2 x^{5}}$

ステップ 2.5.13

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.13.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

ステップ 2.5.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.13.2.1

$2$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

ステップ 2.5.13.2.2

共通因数を約分します。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

ステップ 2.5.13.2.3

式を書き換えます。

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{6}{x^{5}}$

ステップ 2.6

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 9 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{6}{x^{5}} - 1$

微分積分 例

微分積分例