微分積分例

$y = arcsec (\cos (2 x))$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec (\cos (2 x)))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = arcsec (x)$ および $g (x) = \cos (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (2 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $arcsec (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.3.2

$- 2$ と $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \cdot 1$

ステップ 3.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\cos^{2} (2 x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 + \cos^{2} (2 x)}}$

ステップ 3.4.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) + \cos^{2} (2 x)}}$

ステップ 3.4.3

$- 1$ を $\cos^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))}}$

ステップ 3.4.4

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ で因数分解します。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

ステップ 3.4.5

$- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ を $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ に書き換えます。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

ステップ 3.4.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 3.4.7

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.7.1

$- 1$ と $\sin^{2} (2 x)$ を並べ替えます。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\sin^{2} (2 x) \cdot - 1}}$

ステップ 3.4.7.2

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \sqrt{- 1})}$

ステップ 3.4.7.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

ステップ 3.4.8

$\sin (2 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.8.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

ステップ 3.4.8.2

式を書き換えます。

$- \frac{2}{\cos (2 x) i}$

ステップ 3.4.9

分数を分解します。

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

ステップ 3.4.10

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$- (\frac{2}{i} \sec (2 x))$

ステップ 3.4.11

$\frac{2}{i}$ の分子と分母に $i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i} \sec (2 x))$

ステップ 3.4.12

掛け算します。

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ステップ 3.4.12.1

まとめる。

$- (\frac{2 i}{i i} \sec (2 x))$

ステップ 3.4.12.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.12.2.1

$i$ を $1$ 乗します。

$- (\frac{2 i}{i^{1} i} \sec (2 x))$

ステップ 3.4.12.2.2

$i$ を $1$ 乗します。

$- (\frac{2 i}{i^{1} i^{1}} \sec (2 x))$

ステップ 3.4.12.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\frac{2 i}{i^{1 + 1}} \sec (2 x))$

ステップ 3.4.12.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (\frac{2 i}{i^{2}} \sec (2 x))$

ステップ 3.4.12.2.5

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- (\frac{2 i}{- 1} \sec (2 x))$

ステップ 3.4.13

$\frac{2 i}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- (- 1 \cdot (2 i) \sec (2 x))$

ステップ 3.4.14

$- 1 \cdot (2 i)$ を $- (2 i)$ に書き換えます。

$- (- (2 i) \sec (2 x))$

ステップ 3.4.15

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- (- 2 i \sec (2 x))$

ステップ 3.4.16

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 i \sec (2 x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 i \sec (2 x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 i \sec (2 x)$

微分積分 例

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