微分積分例

$\int \sqrt{x^{2} + 8 x + 6} d x$

ステップ 1

平方を完成させます。

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ステップ 1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 8$

$c = 6$

ステップ 1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

ステップ 1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{1}$

ステップ 1.3.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$d = 4$

ステップ 1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 6 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$e = 6 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 6 - \frac{64}{4}$

ステップ 1.4.2.1.3

$64$ を $4$ で割ります。

$e = 6 - 1 \cdot 16$

ステップ 1.4.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e = 6 - 16$

ステップ 1.4.2.2

$6$ から $16$ を引きます。

$e = - 10$

ステップ 1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + 4)}^{2} - 10$ に代入します。

$\int \sqrt{{(x + 4)}^{2} - 10} d x$

ステップ 2

$u = x + 4$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u^{2} - 10} d u$

ステップ 3

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u = \sqrt{10} \sec (t)$ とします。次に $d u = \sqrt{10} \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{{(\sqrt{10} \sec (t))}^{2} - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{{(\sqrt{10} \sec (t))}^{2} - 10}$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

積の法則を $\sqrt{10} \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{{\sqrt{10}}^{2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.1.2

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \sqrt{10^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{10^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{10^{1} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.1.2.5

指数を求めます。

$\int \sqrt{10 \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.2

$10$ を $10 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{10 (\sec^{2} (t)) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.3

$10$ を $- 10$ で因数分解します。

$\int \sqrt{10 \sec^{2} (t) + 10 \cdot - 1} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.4

$10$ を $10 \sec^{2} (t) + 10 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \sqrt{10 (\sec^{2} (t) - 1)} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{10 \tan^{2} (t)} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.6

$10$ と $\tan^{2} (t)$ を並べ替えます。

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\int \tan (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

ステップ 4.2.2

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

ステップ 4.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

ステップ 4.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

ステップ 4.2.5

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{2} (t) ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}) \sec (t) d t$

ステップ 4.2.6

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{2} (t) ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}) \sec (t) d t$

ステップ 4.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \tan^{2} (t) {\sqrt{10}}^{1 + 1} \sec (t) d t$

ステップ 4.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (t) {\sqrt{10}}^{2} \sec (t) d t$

ステップ 4.2.9

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \tan^{2} (t) {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t) d t$

ステップ 4.2.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t) d t$

ステップ 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{2}{2}} \sec (t) d t$

ステップ 4.2.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.9.4.1

共通因数を約分します。

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{2}{2}} \sec (t) d t$

ステップ 4.2.9.4.2

式を書き換えます。

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{1} \sec (t) d t$

ステップ 4.2.9.5

指数を求めます。

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10 \sec (t) d t$

ステップ 4.2.10

$10$ を $\tan^{2} (t)$ の左に移動させます。

$\int 10 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 5

$10$ は $t$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$10 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 6

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$10 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 7

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$10 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 8

項を簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$10 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

$10 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$10 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 10

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$10 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 11

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 12

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 13

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

ステップ 14

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

ステップ 15

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 17

式を簡約します。

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ステップ 17.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 17.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

ステップ 18

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

ステップ 19

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 19.1

累乗法を積に書き換えます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 19.2

分配則を当てはめます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 19.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 20

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

ステップ 21

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 23

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 24

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

ステップ 25

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

ステップ 26

$2$ と $1$ をたし算します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 27

単一積分を複数積分に分割します。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 28

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 29

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 30

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 30.1

分配則を当てはめます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 30.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 31

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

ステップ 32

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

ステップ 33

簡約します。

$10 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

ステップ 34

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$10 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

ステップ 34.2

$- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ と $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ をたし算します。

$10 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

ステップ 34.3

$10$ と $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ をまとめます。

$\frac{10 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

ステップ 34.4

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 34.4.1

$2$ を $10 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2} + C$

ステップ 34.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 34.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 (1)} + C$

ステップ 34.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 \cdot 1} + C$

ステップ 34.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{1} + C$

ステップ 34.4.2.4

$5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ を $1$ で割ります。

$5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 35

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 35.1

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})$ で置き換えます。

$5 (\sec (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) \tan (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) + \tan (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) |)) + C$

ステップ 35.2

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$5 (\sec (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) \tan (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) + \tan (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) |)) + C$

ステップ 36

項を並べ替えます。

$5 (\sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) + \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) |)) + C$

微分積分 例

微分積分例