微分積分例

$y = 9^{1 - x^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9^{1 - x^{2}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 9^{x}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [9^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $9$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$9^{u} \ln (9) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 3.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- (2 x))$

ステップ 3.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- 2 x)$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 \cdot 9^{1 - x^{2}} x \ln (9)$

ステップ 3.3.2

$- 2 \cdot 9^{1 - x^{2}} x \ln (9)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x \cdot 9^{1 - x^{2}} \ln (9)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 2 x \cdot (9^{1 - x^{2}} \ln (9))$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 2 x \cdot (9^{1 - x^{2}} \ln (9))$

微分積分 例

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