微分積分例

$y = \arctan (\sqrt{x - 7})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 7}$ を ${(x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(x - 7)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {({(x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

${({(x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + {(x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + {(x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x - 7)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{1}{1 + x - 7} \frac{d}{d x} [{(x - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5

$1$ から $7$ を引きます。

$\frac{1}{x - 6} \frac{d}{d x} [{(x - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 7$ とします。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 7$ で置き換えます。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{1}{2} {(x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{1}{2} {(x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{1}{2} {(x - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{1}{2} {(x - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{1}{2} {(x - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{1}{2} {(x - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{1}{2} {(x - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{{(x - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x - 6} (\frac{1}{2 {(x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 7])$

ステップ 11.4

$\frac{1}{2 {(x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x - 6}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x - 7)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 12

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{1}{2 {(x - 7)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x - 7)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 14

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x - 7)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)} (1 + 0)$

ステップ 15

式を簡約します。

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ステップ 15.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x - 7)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)} \cdot 1$

ステップ 15.2

$\frac{1}{2 {(x - 7)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x - 7)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)}$

微分積分 例

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