微分積分例

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{4}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{2} x^{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x)$

ステップ 1.1.4.3

$2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x$

ステップ 1.1.4.4

$2$ に $3$ をかけます。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6}{2} x$

ステップ 1.1.4.5

$\frac{6}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6 x}{2}$

ステップ 1.1.4.6

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.6.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2}$

ステップ 1.1.4.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)}$

ステップ 1.1.4.6.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.4.6.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3 x}{1}$

ステップ 1.1.4.6.2.4

$3 x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

総和則では、 $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $3 x^{2} + 6 x + 3$ です。

$3 x^{2} + 6 x + 3$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ を $3 x^{2} + 6 x + 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 6 x + 3 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$3$ を $6 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$3$ を $3$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (1) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$3$ を $3 (x^{2}) + 3 (2 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

ステップ 2.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$3 (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 2.2.2.3

多項式を書き換えます。

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

${(x + 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x + 1)}^{2} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.4

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ を $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 3.1.2.1.5

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2}$

ステップ 3.1.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + \frac{3}{2}$

ステップ 3.1.2.2.2

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{2}$

ステップ 3.1.2.2.3

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2}$

ステップ 3.1.2.2.4

$\frac{3}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.1.2.2.5

$\frac{3}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

ステップ 3.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{1 - 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{4}$

ステップ 3.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.4.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 3 \cdot 2}{4}$

ステップ 3.1.2.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 6}{4}$

ステップ 3.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

$1$ から $4$ を引きます。

$f (- 1) = \frac{- 3 + 6}{4}$

ステップ 3.1.2.5.2

$- 3$ と $6$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{3}{4}$

ステップ 3.1.2.6

最終的な答えは $\frac{3}{4}$ です。

$\frac{3}{4}$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, \frac{3}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, \frac{3}{4})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = 3 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1) + 3$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = 3 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1) + 3$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = 3.63 + 6 (- 1.1) + 3$

ステップ 5.2.1.3

$6$ に $- 1.1$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = 3.63 - 6.6 + 3$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$3.63$ から $6.6$ を引きます。

$f'' (- 1.1) = - 2.97 + 3$

ステップ 5.2.2.2

$- 2.97$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 1.1) = 0.03$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $0.03$ です。

$0.03$

ステップ 5.3

$- 1.1$ で二次導関数は $0.03$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.9$ で置換えます。

$f'' (- 0.9) = 3 {(- 0.9)}^{2} + 6 (- 0.9) + 3$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.9$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.9) = 3 \cdot 0.81 + 6 (- 0.9) + 3$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $0.81$ をかけます。

$f'' (- 0.9) = 2.43 + 6 (- 0.9) + 3$

ステップ 6.2.1.3

$6$ に $- 0.9$ をかけます。

$f'' (- 0.9) = 2.43 - 5.4 + 3$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2.43$ から $5.4$ を引きます。

$f'' (- 0.9) = - 2.97 + 3$

ステップ 6.2.2.2

$- 2.97$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 0.9) = 0.03$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.03$ です。

$0.03$

ステップ 6.3

$- 0.9$ で二次導関数は $0.03$ です。これは正の値なので、 $(- 1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 1, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。この条件を満たす点は、グラフ上に存在しません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例