微分積分例

$f (x) = \frac{3}{2 x - 5} - 4$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{3}{2 x - 5} - 4 d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{3}{2 x - 5} d x + \int - 4 d x$

ステップ 4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{2 x - 5} d x + \int - 4 d x$

ステップ 5

$u = 2 x - 5$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 2 x - 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 5]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $2 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - 4 d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - 4 d x$

ステップ 6.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$3 \int \frac{1}{2 u} d u + \int - 4 d x$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int - 4 d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - 4 d x$

ステップ 9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - 4 d x$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C) - 4 x + C$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{3}{2} \ln (| u |) - 4 x + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $2 x - 5$ で置き換えます。

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |) - 4 x + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{3}{2 x - 5} - 4$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |) - 4 x + C$

微分積分 例

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