微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 2 x - 3$ とします。次に $d u = (2 x + 2) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 2 x - 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 2 x - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 2$

ステップ 1.2

$u = x^{2} + 2 x - 3$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 - 3$

ステップ 1.3.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 0 - 3$

ステップ 1.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 0 - 3$

ステップ 1.3.3

$0$ から $3$ を引きます。

$u_{lower} = - 3$

ステップ 1.4

$u = x^{2} + 2 x - 3$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

ステップ 1.5.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 + 2 - 3$

ステップ 1.5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$u_{upper} = 3 - 3$

ステップ 1.5.3

$3$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{0}$

ステップ 5

$0$ および $- 3$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})}{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 3 |})}{2}$

ステップ 7.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 3$ と $0$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{\ln (\frac{0}{3})}{2}$

ステップ 7.3

$0$ を $3$ で割ります。

$\frac{\ln (0)}{2}$

ステップ 7.4

0の自然対数は未定義です。

未定義

$\frac{\ln (0)}{2}$

ステップ 8

0の自然対数は未定義です。

未定義

微分積分 例

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