微分積分例

$\int_{1}^{2} (x + 1) e^{- 2 x} d x$

ステップ 1

$u = x + 1$ と $d v = e^{- 2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x + 1) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.2

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - - \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + 1 \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

ステップ 4.2

$\int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^{- 2 x} d x$

ステップ 6

$u = - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u = - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 6.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 6.2

$u = - 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 2 \cdot 1$

ステップ 6.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = - 2$

ステップ 6.4

$u = - 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 2 \cdot 2$

ステップ 6.5

$- 2$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = - 4$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 4$

ステップ 6.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 7.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{- 2}^{- 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u))$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

ステップ 10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

ステップ 11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

ステップ 12

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$2$ および $1$ で $(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})$ の値を求めます。

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

ステップ 12.2

$- 4$ および $- 2$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$3 (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$3 (- \frac{e^{- 4}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 4}$ を分母に移動させます。

$3 (- \frac{1}{2 e^{4}}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \frac{1}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.5

$- 3$ と $\frac{1}{2 e^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 1 \cdot 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{1}{2 e^{2}}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.11

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{3}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.12

$2$ と $\frac{1}{2 e^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.13

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.13.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.13.2

式を書き換えます。

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

ステップ 12.3.14

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) \cdot \frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.15

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ と $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ をまとめます。

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.17

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.18

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.19

$e^{4}$ と $\frac{- 2}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{e^{4} \cdot - 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.20

$- 2$ を $e^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2 \cdot e^{4}}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.21

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.21.1

$2$ を $- 2 e^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.21.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.21.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 (2)} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.21.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 \cdot 2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.21.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 12.3.22

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} e^{- 4} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.2

$- \frac{e^{4}}{2} e^{- 4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.2.1

$e^{- 4}$ と $\frac{e^{4}}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4} e^{4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.2.2

指数を足して $e^{- 4}$ に $e^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4 + 4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.2.2.2

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{0}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.2.3

$e^{0}$ を簡約します。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.3

$- \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + 1 \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.3.2

$\frac{e^{4}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.3.3

$\frac{e^{4}}{2}$ と $e^{- 2}$ をまとめます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4} e^{- 2}}{2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.3.4

指数を足して $e^{4}$ に $e^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4 - 2}}{2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.3.4.2

$4$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.4

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.5

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.7.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 6 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.7.2

$- 6$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.1.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7 + e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$

ステップ 13.1.3

$\frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.1

$\frac{- 7 + e^{2}}{2}$ に $\frac{1}{2 e^{4}}$ をかけます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2 (2 e^{4})}$

ステップ 13.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

ステップ 13.2

$\frac{1}{e^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{2}} \cdot \frac{4 e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

ステップ 13.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4 e^{4}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$\frac{1}{e^{2}}$ に $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ をかけます。

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} (4 e^{2})} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

ステップ 13.3.2

指数を足して $e^{2}$ に $e^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.2.1

$e^{2}$ を移動させます。

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} e^{2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

ステップ 13.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 e^{2}}{e^{2 + 2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

ステップ 13.3.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 e^{2}}{e^{4} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

ステップ 13.3.3

$e^{4} \cdot 4$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 e^{2}}{4 e^{4}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

ステップ 13.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 e^{2} - 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

ステップ 13.5

$4 e^{2}$ と $e^{2}$ をたし算します。

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

10進法形式：

$0.13711673 \dots$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例