微分積分例

$y = arctanh (1 - 2 x)$

ステップ 1

$f (x) = arctanh (x)$ および $g (x) = 1 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - 2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $arctanh (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 - u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 - 2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.5

分数をまとめます。

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ステップ 2.5.1

$- 2$ と $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

ステップ 2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = 1 - 2 x$ です。

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

ステップ 3.1.3

簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

ステップ 3.1.3.2

$2$ を $2 - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

ステップ 3.1.3.2.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

ステップ 3.1.3.2.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

ステップ 3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

ステップ 3.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

ステップ 3.1.3.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

ステップ 3.1.3.6

$1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

ステップ 3.1.3.7

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

ステップ 3.1.3.8

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

ステップ 3.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$2$ を $4 (1 - x) x$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

ステップ 3.3

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$

微分積分 例

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