微分積分例

$\int_{0}^{3} \frac{3}{2} \sqrt{x + 1} d x$

ステップ 1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} d x$

ステップ 2

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u = x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 2.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u = x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 + 1$

ステップ 2.5

$3$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{3}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{3}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.5

$\frac{2}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{3}{2} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.6

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 5.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 5.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

ステップ 5.2.10

$16$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}$

ステップ 5.2.11

$\frac{3}{2}$ に $\frac{14}{3}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.2.12

$3$ に $14$ をかけます。

$\frac{42}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.2.13

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{42}{6}$

ステップ 5.2.14

$42$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.14.1

$6$ を $42$ で因数分解します。

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

ステップ 5.2.14.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.14.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

ステップ 5.2.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

ステップ 5.2.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{7}{1}$

ステップ 5.2.14.2.4

$7$ を $1$ で割ります。

$7$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例