微分積分例

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

ステップ 1

$u = 4 x + 5$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

ステップ 2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

ステップ 3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

ステップ 4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

ステップ 5

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 5.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 5.2

$u = - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 5.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.4

$u = - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

ステップ 5.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = - 2$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

ステップ 7

$- 1$ に $4$ をかけます。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$2$ および $0$ で $(4 x + 5) (- e^{- x})$ の値を求めます。

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

ステップ 9.2

$- 2$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.2

$8$ と $5$ をたし算します。

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.4

$- 1$ に $13$ をかけます。

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.5

$4$ に $0$ をかけます。

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.6

$0$ と $5$ をたし算します。

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.7

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.11

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 9.3.12

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

ステップ 9.3.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

ステップ 10.1.2

$- 13$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

ステップ 10.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

ステップ 10.1.4

分配則を当てはめます。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

ステップ 10.1.5

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

ステップ 10.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

ステップ 10.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

ステップ 10.3

公分母の分子をまとめます。

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

ステップ 10.4

$- 13$ から $4$ を引きます。

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

ステップ 10.5

分数の前に負数を移動させます。

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

ステップ 10.6

$5$ と $4$ をたし算します。

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

10進法形式：

$6.69930018 \dots$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例