微分積分例

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

ステップ 2

$u_{2} = e^{- x^{3}}$ とします。次に $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = e^{- x^{3}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$e^{- x^{3}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x^{3}$ で置き換えます。

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

ステップ 2.1.4.2

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

ステップ 2.2

$u_{2} = e^{- x^{3}}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = e^{- 0}$

ステップ 2.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = e^{0}$

ステップ 2.3.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u_{2} = e^{- x^{3}}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

ステップ 2.6

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

ステップ 3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{3}}}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$e^{- t^{3}}$ および $1$ で $- \frac{1}{3} u_{2}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{3} e^{- t^{3}}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$e^{- t^{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

公分母を利用して分数をまとめます。

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ステップ 6.1.1

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{3}} + 1}{3}$

ステップ 6.1.2

$- 1$ を $- e^{- t^{3}}$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) + 1}{3}$

ステップ 6.1.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)}{3}$

ステップ 6.1.4

$- 1$ を $- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

ステップ 6.1.5

$- (e^{- t^{3}} - 1)$ を $- 1 (e^{- t^{3}} - 1)$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

ステップ 6.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

ステップ 6.2

極限を求めます。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

ステップ 6.2.2

$\frac{1}{3}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - 1$

ステップ 6.2.3

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{3} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 6.3

指数 $- t^{3}$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- t^{3}}$ が $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{3} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 6.4

極限を求めます。

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ステップ 6.4.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{3} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 6.4.2

答えを簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} (0 - 1)$

ステップ 6.4.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

ステップ 6.4.2.3

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.4.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{3})$

ステップ 6.4.2.3.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{3}$

微分積分 例

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