微分積分例

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = e^{- 2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

ステップ 3.2

$x$ と $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

ステップ 3.3

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

ステップ 5.2

$\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ に $1$ をかけます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

ステップ 7

$u = - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 7.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

ステップ 8

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

ステップ 8.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

ステップ 12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ を $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.2

$e^{- 2 x}$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 13.2.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分配則を当てはめます。

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

ステップ 15.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.1

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

ステップ 15.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

ステップ 15.2.3

式を書き換えます。

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

ステップ 15.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.3.1

$- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

ステップ 15.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

ステップ 15.3.3

共通因数を約分します。

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 15.3.4

式を書き換えます。

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

ステップ 15.4

分数の前に負数を移動させます。

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

ステップ 15.5

公分母を利用して $- e^{- 2 x} x$ と $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ を組み合わせます。

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ステップ 15.5.1

$e^{- 2 x}$ を移動させます。

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

ステップ 15.5.2

$- x e^{- 2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

ステップ 15.5.3

$- x e^{- 2 x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

ステップ 15.5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

ステップ 15.6

分子を簡約します。

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ステップ 15.6.1

$e^{- 2 x}$ を $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 15.6.1.1

$e^{- 2 x}$ を $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

ステップ 15.6.1.2

$e^{- 2 x}$ を $- e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

ステップ 15.6.1.3

$e^{- 2 x}$ を $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

ステップ 15.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

ステップ 15.7

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

ステップ 15.8

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

ステップ 15.9

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

ステップ 15.10

$- (2 x + 1)$ を $- 1 (2 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

ステップ 15.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

ステップ 16

括弧を削除します。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$

微分積分 例

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