微分積分例

$x^{2} e^{k x}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{k x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = k x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $k x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $k x$ で置き換えます。

$x^{2} (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$k$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $k x$ の微分係数は $k \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$k$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} (2 x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$

ステップ 4.2

$e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} k e^{k x} + 2 x e^{k x}$

微分積分 例

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