微分積分例

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 5

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 5.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 6.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.3

$\int \frac{1}{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + x^{2} |) + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (| 1 + x^{2} |) + C$

微分積分 例

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