微分積分例

$f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

ステップ 3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int \frac{1}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

ステップ 4

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$2$ を $2 - 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(2 (1) - 8 x)}^{3}}$

ステップ 4.1.1.1.2

$2$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(2 (1) + 2 (- 4 x))}^{3}}$

ステップ 4.1.1.1.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(2 (1 - 4 x))}^{3}}$

ステップ 4.1.1.2

積の法則を $2 (1 - 4 x)$ に当てはめます。

$\frac{1}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}}$

ステップ 4.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}}$

ステップ 4.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

ステップ 4.1.4

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.5

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}$ です。

$\frac{1 (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.6

$2^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

共通因数を約分します。

ステップ 4.1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1 ({(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.7

${(1 - 4 x)}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 {(1 - 4 x)}^{3}}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.7.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

${(1 - 4 x)}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.1.2

$(A) \cdot (2^{3})$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) \cdot (2^{3}) + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.2

$2$ を $3$ 乗します。

$1 = A \cdot 8 + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.3

$8$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = 8 \cdot A + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.4

${(1 - 4 x)}^{3}$ と ${(1 - 4 x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.4.1

${(1 - 4 x)}^{2}$ を $(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ で因数分解します。

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.4.2.1

$1$ を掛けます。

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.4.2.2

共通因数を約分します。

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.4.2.3

式を書き換えます。

$1 = 8 A + \frac{B (2^{3} (1 - 4 x))}{1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.4.2.4

$B (2^{3} (1 - 4 x))$ を $1$ で割ります。

$1 = 8 A + B (2^{3} (1 - 4 x)) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 8 A + 2^{3} B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.6

$2$ を $3$ 乗します。

$1 = 8 A + 8 B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.7

分配則を当てはめます。

$1 = 8 A + 8 B \cdot 1 + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.8

$8$ に $1$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 8 A + 8 B + 8 \cdot (- 4 B x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.10

$8$ に $- 4$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.11

${(1 - 4 x)}^{3}$ と $1 - 4 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.11.1

$1 - 4 x$ を $(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ で因数分解します。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{1 - 4 x}$

ステップ 4.1.8.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.11.2.1

$1$ を掛けます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

ステップ 4.1.8.11.2.2

共通因数を約分します。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

ステップ 4.1.8.11.2.3

式を書き換えます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})}{1}$

ステップ 4.1.8.11.2.4

$C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$ を $1$ で割ります。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$

ステップ 4.1.8.12

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 2^{3} C {(1 - 4 x)}^{2}$

ステップ 4.1.8.13

$2$ を $3$ 乗します。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C {(1 - 4 x)}^{2}$

ステップ 4.1.8.14

${(1 - 4 x)}^{2}$ を $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ に書き換えます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C ((1 - 4 x) (1 - 4 x))$

ステップ 4.1.8.15

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.15.1

分配則を当てはめます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

ステップ 4.1.8.15.2

分配則を当てはめます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

ステップ 4.1.8.15.3

分配則を当てはめます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

ステップ 4.1.8.16

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.16.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.16.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

ステップ 4.1.8.16.1.2

$- 4 x$ に $1$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

ステップ 4.1.8.16.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 x (- 4 x))$

ステップ 4.1.8.16.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x \cdot x))$

ステップ 4.1.8.16.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.16.1.5.1

$x$ を移動させます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)))$

ステップ 4.1.8.16.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x^{2}))$

ステップ 4.1.8.16.1.6

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2})$

ステップ 4.1.8.16.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 8 x + 16 x^{2})$

ステップ 4.1.8.17

分配則を当てはめます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C \cdot 1 + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

ステップ 4.1.8.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.18.1

$8$ に $1$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

ステップ 4.1.8.18.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 C (16 x^{2})$

ステップ 4.1.8.18.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 \cdot (16 C x^{2})$

ステップ 4.1.8.19

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.19.1

$8$ に $- 8$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 8 \cdot (16 C x^{2})$

ステップ 4.1.8.19.2

$8$ に $16$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

ステップ 4.1.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.9.1

$B$ を移動させます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

ステップ 4.1.9.2

$8 C$ を移動させます。

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 C$

ステップ 4.1.9.3

$8 B$ を移動させます。

$1 = 8 A - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 B + 8 C$

ステップ 4.1.9.4

$8 A$ を移動させます。

$1 = - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.1.9.5

$- 64 C x$ を移動させます。

$1 = - 32 x B + 128 C x^{2} - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.1.9.6

$- 32 x B$ と $128 C x^{2}$ を並べ替えます。

$1 = 128 C x^{2} - 32 x B - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 128 C$

ステップ 4.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 32 B - 64 C$

ステップ 4.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0 = 128 C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

方程式を $128 C = 0$ として書き換えます。

$128 C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.3.1.2

$128 C = 0$ の各項を $128$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

$128 C = 0$ の各項を $128$ で割ります。

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.2.1

$128$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.3.1.2.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.3.1

$0$ を $128$ で割ります。

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$0 = - 32 B - 64 C$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$0 = - 32 B - 64 \cdot 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 32 B - 64 \cdot 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.1

$- 64$ に $0$ をかけます。

$0 = - 32 B + 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$- 32 B$ と $0$ をたし算します。

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

ステップ 4.3.2.3

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$1 = 8 A + 8 B + 8 (0)$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

ステップ 4.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$8 A + 8 B + 8 (0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1.1

$8$ に $0$ をかけます。

$1 = 8 A + 8 B + 0$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

ステップ 4.3.2.4.1.2

$8 A + 8 B$ と $0$ をたし算します。

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

ステップ 4.3.3

$0 = - 32 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

方程式を $- 32 B = 0$ として書き換えます。

$- 32 B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

ステップ 4.3.3.2

$- 32 B = 0$ の各項を $- 32$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$- 32 B = 0$ の各項を $- 32$ で割ります。

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

ステップ 4.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1

$- 32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

ステップ 4.3.3.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

ステップ 4.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.3.1

$0$ を $- 32$ で割ります。

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

ステップ 4.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$1 = 8 A + 8 B$ の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$1 = 8 A + 8 (0)$

$B = 0$

$C = 0$

ステップ 4.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

$8 A + 8 (0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1.1

$8$ に $0$ をかけます。

$1 = 8 A + 0$

$B = 0$

$C = 0$

ステップ 4.3.4.2.1.2

$8 A$ と $0$ をたし算します。

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

ステップ 4.3.5

$1 = 8 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

方程式を $8 A = 1$ として書き換えます。

$8 A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

ステップ 4.3.5.2

$8 A = 1$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

$8 A = 1$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

ステップ 4.3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

ステップ 4.3.5.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

ステップ 4.3.6

連立方程式を解きます。

$A = \frac{1}{8} B = 0 C = 0$

ステップ 4.3.7

すべての解をまとめます。

$A = \frac{1}{8}, B = 0, C = 0$

ステップ 4.4

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{8}}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

ステップ 4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

ステップ 4.5.2

まとめる。

$\frac{1 \cdot 1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

ステップ 4.5.3

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

ステップ 4.5.4

$0$ を ${(1 - 4 x)}^{2}$ で割ります。

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + \frac{0}{1 - 4 x}$

ステップ 4.5.5

$0$ を $1 - 4 x$ で割ります。

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + 0$

ステップ 4.5.6

式から0を削除します。

$5 \int \frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{8}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x$

ステップ 7

$u = 1 - 4 x$ とします。次に $d u = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = 1 - 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$1 - 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

ステップ 7.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

総和則では、 $1 - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 7.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 7.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 4 \cdot 1$

ステップ 7.1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$0 - 4$

ステップ 7.1.4

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

ステップ 8.2

$\frac{1}{u^{3}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

ステップ 8.3

$4$ を $u^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{8} (- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{8} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u))$

ステップ 11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$\frac{5}{8}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{5}{8 \cdot 4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 11.1.2

$8$ に $4$ をかけます。

$- \frac{5}{32} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 11.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 11.2.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{5}{32} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 11.2.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{5}{32} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 11.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{5}{32} \int u^{- 3} d u$

ステップ 12

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ を $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

ステップ 13.2.2

$2$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

ステップ 13.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{5}{32}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

ステップ 13.2.4

$\frac{5}{32}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{32} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

ステップ 13.2.5

$\frac{5}{32}$ に $\frac{1}{2 u^{2}}$ をかけます。

$\frac{5}{32 (2 u^{2})} + C$

ステップ 13.2.6

$2$ に $32$ をかけます。

$\frac{5}{64 u^{2}} + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $1 - 4 x$ で置き換えます。

$\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例