微分積分例

$\sqrt{x^{2} - 1}$

ステップ 1

$\sqrt{x^{2} - 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{x^{2} - 1} d x$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sec (t)$ とします。次に $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 5.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 5.2.2

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

ステップ 5.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

ステップ 5.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 6

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 7

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 8

項を簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 10

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 11

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 12

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 13

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 14

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 15

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

ステップ 16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

ステップ 17

式を簡約します。

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ステップ 17.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 17.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 18

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 19

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 19.1

累乗法を積に書き換えます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 19.2

分配則を当てはめます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 19.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 20

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

ステップ 21

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

ステップ 22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

ステップ 23

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 24

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 25

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

ステップ 26

$2$ と $1$ をたし算します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

ステップ 27

単一積分を複数積分に分割します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 28

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 29

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 30

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 30.1

分配則を当てはめます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 30.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 31

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

ステップ 32

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

ステップ 33

簡約します。

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 34

$t$ のすべての発生を $arcsec (x)$ で置き換えます。

$- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$

ステップ 35

答えは関数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$

微分積分 例

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