微分積分例

$\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

ステップ 1

$\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sin (2 x) + 3 \cos (3 x) d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sin (2 x) d x + \int 3 \cos (3 x) d x$

ステップ 5

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

ステップ 6

$\sin (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

ステップ 8

$\sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $- \cos (u_{1})$ です。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int 3 \cos (3 x) d x$

ステップ 9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (3 x) d x$

ステップ 10

$u_{2} = 3 x$ とします。次に $d u_{2} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u_{2} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 10.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 11

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

ステップ 12

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 13.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 13.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 1 \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 13.3

$\int \cos (u_{2}) d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 14

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \sin (u_{2}) + C$

ステップ 15

簡約します。

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \sin (u_{2}) + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (u_{2}) + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (3 x) + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$

ステップ 18

答えは関数 $f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$

微分積分 例

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