微分積分例

$\tan^{5} (x)$

ステップ 1

$\tan^{5} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \tan^{5} (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \tan^{5} (x) d x$

ステップ 4

$\tan^{4} (x)$ を因数分解します。

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

ステップ 5.2

${\tan (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

ステップ 7

二項定理を利用します。

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

ステップ 8

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

ステップ 8.2.2

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

ステップ 8.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

ステップ 8.2.4

${(\sec^{2} (x))}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

ステップ 8.2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

ステップ 10

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

ステップ 11

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

ステップ 12

$u_{1} = \sec (x)$ とします。次に $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u_{1} = \sec (x)$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 12.1.1

$\sec (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 12.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 12.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

ステップ 13

べき乗則では、 $u_{1}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ です。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

ステップ 14

$u_{2} = \sec (x)$ とします。次に $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 14.1

$u_{2} = \sec (x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 14.1.1

$\sec (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 14.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 14.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

ステップ 15

べき乗則では、 ${u_{2}}^{3}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ です。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

$\frac{1}{2}$ と ${u_{1}}^{2}$ をまとめます。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 16.2

簡約します。

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 17.1

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 17.2

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

ステップ 18

答えは関数 $f (x) = \tan^{5} (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

微分積分 例

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