微分積分例

$y = \frac{3 x + 7}{\sqrt{5 + 2 x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 + 2 x}$ を ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x + 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = 3 x + 7$ および $g (x) = {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

${({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{1}}$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

総和則では、 $3 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

ステップ 5.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

ステップ 5.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

ステップ 5.5

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

ステップ 5.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

ステップ 5.6.2

$3$ を ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

ステップ 6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 5 + 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 + 2 x$ とします。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 6.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 + 2 x$ で置き換えます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{{(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 12

総和則では、 $5 + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{5 + 2 x}$

ステップ 13

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]))}{5 + 2 x}$

ステップ 14

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x]$ をたし算します。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x])}{5 + 2 x}$

ステップ 15

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{5 + 2 x}$

ステップ 16

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$2$ と $\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{2}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

ステップ 16.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{2}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

ステップ 16.3

式を書き換えます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

ステップ 17

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{5 + 2 x}$

ステップ 18

$\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

括弧を付けます。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.2

$u_{2} = {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u_{2}$ を ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$u_{2}$ を移動させます。

$\frac{\frac{3 (u_{2} \cdot u_{2}) - 3 x - 7}{u_{2}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.2.2

$u_{2}$ に $u_{2}$ をかけます。

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{2} - 3 x - 7}{u_{2}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{\frac{3 {({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.4.1.1

${({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.4.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{1} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.4.1.2

簡約します。

$\frac{\frac{3 (5 + 2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{3 \cdot 5 + 3 (2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.4.1.4

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{\frac{15 + 3 (2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.4.1.5

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{15 + 6 x - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.4.2

$15$ から $7$ を引きます。

$\frac{\frac{6 x - 3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.2.4.3

$6 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

ステップ 19.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1

$\frac{\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$ を積として書き換えます。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{5 + 2 x}$

ステップ 19.3.2

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{5 + 2 x}$ をかけます。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (5 + 2 x)}$

ステップ 19.3.3

指数を足して ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に $5 + 2 x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.3.1

${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に $5 + 2 x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.3.1.1

$5 + 2 x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(5 + 2 x)}^{1}}$

ステップ 19.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 19.3.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 19.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 19.3.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 19.4

項を並べ替えます。

$\frac{3 x + 8}{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例