微分積分例

$f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ を $\csc^{2} (4 x)$ に変換します。

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 5

$\frac{5}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{5}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 6

$u_{1} = 3 x + 2$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{1} = 3 x + 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$3 x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 6.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 6.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 6.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 7.2

$3$ を $\sqrt{u_{1}}$ の左に移動させます。

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 8

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{5}{2}$ をかけます。

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 9.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 9.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 9.2.2

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{5}{6} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 9.2.3

${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 9.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 9.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 10

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

ステップ 11

$u_{2} = 4 x$ とします。次に $d u_{2} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = 4 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 11.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

ステップ 12

$\csc^{2} (u_{2})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

ステップ 13

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 14

$- \cot (u_{2})$ の微分係数が $\csc^{2} (u_{2})$ なので、 $\csc^{2} (u_{2})$ の積分は $- \cot (u_{2})$ です。

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2}) + C)$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

簡約します。

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2})) + C$

ステップ 15.2

$\frac{1}{4}$ と $\cot (u_{2})$ をまとめます。

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x + 2$ で置き換えます。

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (4 x)}{4} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$

ステップ 18

答えは関数 $f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$

微分積分 例

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