微分積分例

$\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

ステップ 1

$\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}} d x$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sqrt{2} \sin (t)$ とします。次に $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sqrt{2} \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

積の法則を $\sqrt{2} \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.2

$1$ を掛けます。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ で因数分解します。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.6.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.6.5

指数を求めます。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.7

$2$ と $\cos^{2} (t)$ を並べ替えます。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\cos (t) \sqrt{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\sqrt{2} \cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

$\sqrt{2} \cos (t)$ を $\cos (t) \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) (1)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.2.1.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) \cdot 1} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

ステップ 5.2.1.3

式を書き換えます。

$\int {(\sqrt{2} \sin (t))}^{3} d t$

ステップ 5.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

積の法則を $\sqrt{2} \sin (t)$ に当てはめます。

$\int {\sqrt{2}}^{3} \sin^{3} (t) d t$

ステップ 5.2.2.2

簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{2^{3}} \sin^{3} (t) d t$

ステップ 5.2.2.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\int \sqrt{8} \sin^{3} (t) d t$

ステップ 6

$\sqrt{8}$ は $t$ に対して定数なので、 $\sqrt{8}$ を積分の外に移動させます。

$\sqrt{8} \int \sin^{3} (t) d t$

ステップ 7

$\sin^{2} (t)$ を因数分解します。

$\sqrt{8} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

ステップ 8

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (t)$ を $1 - \cos^{2} (t)$ に書き換えます。

$\sqrt{8} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

ステップ 9

$u = \cos (t)$ とします。次に $d u = - \sin (t) d t$ すると、 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = \cos (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$\cos (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 9.1.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$- \sin (t)$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\sqrt{8} \int - 1 + u^{2} d u$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\sqrt{8} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\sqrt{8} (- u + C + \int u^{2} d u)$

ステップ 12

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

ステップ 13.2

簡約します。

$2 \sqrt{2} (- u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$u$ のすべての発生を $\cos (t)$ で置き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3}) + C$

ステップ 14.2

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ で置き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}$ です。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{\sqrt{2}}$ です。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.5

公分母の分子をまとめます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.7

公分母の分子をまとめます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.8

$\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.9

分母を簡約します。

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ステップ 15.1.9.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.9.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.9.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.9.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.10

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1.10.4.1

共通因数を約分します。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.10.4.2

式を書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.10.5

指数を求めます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ を展開します。

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ステップ 15.1.11.1

分配則を当てはめます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.11.2

分配則を当てはめます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.11.3

分配則を当てはめます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.12

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 15.1.12.1

$\sqrt{2} (- x)$ と $x \sqrt{2}$ について因数を並べ替えます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.12.2

$- x \sqrt{2}$ と $x \sqrt{2}$ をたし算します。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.12.3

$\sqrt{2} \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.13.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.13.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.13.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.13.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.13.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.13.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.13.6.1

$x$ を移動させます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.13.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.14

$\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ を $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

ステップ 15.1.15

分子を簡約します。

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ステップ 15.1.15.1

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.3

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.5

公分母の分子をまとめます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.7

公分母の分子をまとめます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.8

$\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.9

分母を簡約します。

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ステップ 15.1.15.9.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.9.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.9.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.9.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.10

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.15.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.15.10.4.1

共通因数を約分します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.10.4.2

式を書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.10.5

指数を求めます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.11

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.15.11.1

分配則を当てはめます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.11.2

分配則を当てはめます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.11.3

分配則を当てはめます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.12

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.15.12.1

$\sqrt{2} (- x)$ と $x \sqrt{2}$ について因数を並べ替えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.12.2

$- x \sqrt{2}$ と $x \sqrt{2}$ をたし算します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.12.3

$\sqrt{2} \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.15.13.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.13.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.13.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.13.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.13.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.13.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.15.13.6.1

$x$ を移動させます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.13.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.14

$\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ を $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{(\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}})}^{3}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.15

積の法則を $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ に当てはめます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{{\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.16

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.15.16.1

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}$ を $\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.16.2

${(2 - x^{2})}^{2}$ を因数分解します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{2} (2 - x^{2})}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.16.3

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{(2 - x^{2}) \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.16.4

分配則を当てはめます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.16.5

$\sqrt{2 - x^{2}}$ を $2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.15.16.5.1

$\sqrt{2 - x^{2}}$ を $2 \sqrt{2 - x^{2}}$ で因数分解します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.16.5.2

$\sqrt{2 - x^{2}}$ を $- x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ で因数分解します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.16.5.3

$\sqrt{2 - x^{2}}$ を $\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})$ で因数分解します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.17

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.15.17.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{3}}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.17.2

$2$ を $3$ 乗します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{8}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.17.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.15.17.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{4 (2)}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.17.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.15.17.4

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}}}{3}) + C$

ステップ 15.1.16

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3}) + C$

ステップ 15.1.17

まとめる。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2}) \cdot 1}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

ステップ 15.1.18

$\sqrt{2 - x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

ステップ 15.1.19

$3$ に $2$ をかけます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

ステップ 15.2

$- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{6}{6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

ステップ 15.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sqrt{2} \cdot 6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{\sqrt{2} \cdot 6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

ステップ 15.3.2

$\sqrt{2} \cdot 6$ の因数を並べ替えます。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{6 \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

ステップ 15.4

公分母の分子をまとめます。

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}} + C$

ステップ 15.5

$2 \sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.5.1

$2 \sqrt{2}$ を $6 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} (3)} + C$

ステップ 15.5.2

共通因数を約分します。

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3} + C$

ステップ 15.5.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

ステップ 15.6

分子を簡約します。

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ステップ 15.6.1

$\sqrt{2 - x^{2}}$ を $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.6.1.1

$\sqrt{2 - x^{2}}$ を $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

ステップ 15.6.1.2

$\sqrt{2 - x^{2}}$ を $\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

ステップ 15.6.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

ステップ 15.6.3

$- 6$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 4 - x^{2})}{3} + C$

ステップ 15.7

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - x^{2})}{3} + C$

ステップ 15.8

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - (x^{2}))}{3} + C$

ステップ 15.9

$- 1$ を $- 1 (4) - (x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4 + x^{2}))}{3} + C$

ステップ 15.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

微分積分 例

微分積分例