微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{27 x^{3} + 12}}$

ステップ 1

$3$ を $27 x^{3} + 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$3$ を $27 x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 12}}$

ステップ 1.2

$3$ を $12$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 3 (4)}}$

ステップ 1.3

$3$ を $3 (9 x^{3}) + 3 (4)$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3} + 4)}}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt[3]{x^{3}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

ステップ 3.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

ステップ 3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

ステップ 3.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

ステップ 3.5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{lim_{x \to \infty} \frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

ステップ 5.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{3} + 4}{x^{3}}}}$

ステップ 6

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{3}$ です。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

ステップ 7.1.2

$9$ を $1$ で割ります。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

ステップ 7.2

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{1}}}$

ステップ 7.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

ステップ 7.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

ステップ 7.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

ステップ 7.6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

ステップ 9

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{1}}}$

ステップ 9.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$9 + 4 \cdot 0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

ステップ 9.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$- 5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 + 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

ステップ 9.2.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

ステップ 9.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 0)}}$

ステップ 9.2.3.2

$9$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 \cdot 9}}$

ステップ 9.2.3.3

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt[3]{27}}$

ステップ 9.2.3.4

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt[3]{3^{3}}}$

ステップ 9.2.3.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{3}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{3}$

微分積分 例

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