微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ を $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1

$x^{3} + 3 x^{2}$ を $x^{2} (x + 3)$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

ステップ 1.1.1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

ステップ 1.1.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

ステップ 1.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.7

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.8

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.9

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.9.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.9.4

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.10

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.12

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.13

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.13.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.13.2

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.1.15

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.16

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.17

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.19

指数を足して ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.19.1

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.19.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.19.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.20

${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21

$2$ を $x + 3$ の左に移動させます。

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.22

簡約します。

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ステップ 1.1.22.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.22.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.22.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.22.2.2

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.22.3

$3$ を $3 x + 6$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.22.3.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.22.3.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.22.3.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$3 (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$3 (x + 2) = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$3 (x + 2) = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$x + 2$ を $1$ で割ります。

$x + 2 = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

ステップ 3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

ステップ 3.2

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

積の法則を $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.4

簡約します。

$4 (x + 3) = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.6

$4$ に $3$ をかけます。

$4 x + 12 = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x + 12 = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$4 x = - 12$

ステップ 3.3.3.2

$4 x = - 12$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$4 x = - 12$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

ステップ 3.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

ステップ 3.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 12}{4}$

ステップ 3.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1

$- 12$ を $4$ で割ります。

$x = - 3$

ステップ 3.4

$\sqrt{x + 3}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 3 < 0$

ステップ 3.5

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$x < - 3$

ステップ 3.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{- 8 + 12}$

ステップ 4.1.2.4

$- 8$ と $12$ をたし算します。

$\sqrt{4}$

ステップ 4.1.2.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2$

ステップ 4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$\sqrt{- 27 + 3 {(- 3)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{- 27 + 3 \cdot 9}$

ステップ 4.2.2.3

$3$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{- 27 + 27}$

ステップ 4.2.2.4

$- 27$ と $27$ をたし算します。

$\sqrt{0}$

ステップ 4.2.2.5

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, 2), (- 3, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例