微分積分例

$f (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 1$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 4 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 8 x + 0$

ステップ 1.3.2

$4 x^{3} + 8 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} + 8 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} + 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} + 8 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 4 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 8 x + 0$

ステップ 4.1.3.2

$4 x^{3} + 8 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} + 8 x$ です。

$4 x^{3} + 8 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} + 8 x = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} + 8 x = 0$

ステップ 5.2

$4 x$ を $4 x^{3} + 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 8 x = 0$

ステップ 5.2.2

$4 x$ を $8 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (2) = 0$

ステップ 5.2.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (2)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$x^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} = - 2$

ステップ 5.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 5.5.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.2.3.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 5.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 5.6

最終解は $4 x (x^{2} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0)}^{2} + 8$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 + 8$

ステップ 9.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$0 + 8$

ステップ 9.2

$0$ と $8$ をたし算します。

$8$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 11.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 + 1$

ステップ 11.2.1.3

$4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 12

$f (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 1$ の極値です。

$(0, 1)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例