微分積分例

$\int \frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 1

分数 $\frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} + \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 4

$u = 9 + 16 x^{2}$ とします。次に $d u = 32 x d x$ すると、 $\frac{1}{32} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 9 + 16 x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$9 + 16 x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [9 + 16 x^{2}]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $9 + 16 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{2}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 16 (2 x)$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $16$ をかけます。

$0 + 32 x$

ステップ 4.1.4

$0$ と $32 x$ をたし算します。

$32 x$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{32}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 5.2

$32$ を $u$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{32 u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{32}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{32}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{32}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 7.2

$2$ と $32$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ を $32$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

ステップ 9

$16$ を $9 + 16 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 9.1

$16$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 x^{2}} d x$

ステップ 9.2

$16$ を $16 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})} d x$

ステップ 9.3

$16$ を $16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16} + x^{2})} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{16}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{16}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{\frac{9}{16} + x^{2}} d x$

ステップ 11

$\frac{9}{16}$ を ${(\frac{3}{4})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 12

$\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C$ です。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

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ステップ 13.1.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{3}{4}$ で割ります。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (1 (\frac{4}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

ステップ 13.1.2

$\frac{4}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

ステップ 13.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{3}{4}$ で割ります。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (x \frac{4}{3}) + C)$

ステップ 13.1.4

$x$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x \cdot 4}{3}) + C)$

ステップ 13.1.5

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{4 \cdot x}{3}) + C)$

ステップ 13.1.6

$\frac{4}{3}$ と $\arctan (\frac{4 x}{3})$ をまとめます。

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4 \arctan (\frac{4 x}{3})}{3} + C)$

ステップ 13.2

簡約します。

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

ステップ 13.3

簡約します。

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ステップ 13.3.1

$\frac{1}{16}$ に $\frac{4}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{16 \cdot 3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

ステップ 13.3.2

$16$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

ステップ 13.3.3

$4$ と $48$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 (1)}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

ステップ 13.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.3.2.1

$4$ を $48$ で因数分解します。

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

ステップ 13.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

ステップ 13.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $9 + 16 x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{16} \ln (| 9 + 16 x^{2} |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

微分積分 例

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