微分積分例

$\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ を $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$x^{3} + 3 x^{2}$ を $x^{2} (x + 3)$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

ステップ 1.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

ステップ 1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.4

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13.2

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 15

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 16

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19

指数を足して ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 19.1

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20

${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21

$2$ を $x + 3$ の左に移動させます。

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22

簡約します。

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ステップ 22.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.2

分子を簡約します。

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ステップ 22.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.2.2

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3

$3$ を $3 x + 6$ で因数分解します。

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ステップ 22.3.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例