微分積分例

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4

$x^{2}$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 4.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$0$

ステップ 4.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 4.3

新しい商の項に除数を掛けます。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
						+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

ステップ 4.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + 1$ の符号をすべて変更します。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
						-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

ステップ 4.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
						-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
										-	$1$

ステップ 4.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 8.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

$x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 9

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C$ です。

$x + C - (\arctan (x) + C)$

ステップ 10

簡約します。

$x - \arctan (x) + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x - \arctan (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$