微分積分例

$y = \sin (4 x - 7)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - 7$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $4 x - 7$ で置き換えます。

$\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 1.2.5

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (4 x - 7) (4 + 0)$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\cos (4 x - 7) \cdot 4$

ステップ 1.2.6.2

$4$ を $\cos (4 x - 7)$ の左に移動させます。

$f' (x) = 4 \cos (4 x - 7)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \cos (4 x - 7)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - 7$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x - 7$ で置き換えます。

$4 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $4 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$- 4 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.3.6

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 4 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

ステップ 2.3.7.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x - 7)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 \sin (4 x - 7)$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$ です。

$- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - 7$ とします。

$- 16 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$- 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x - 7$ で置き換えます。

$- 16 (\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $4 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$- 16 \cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 3.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 3.3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 3.3.5

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + 0)$

ステップ 3.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 16 \cos (4 x - 7) \cdot 4$

ステップ 3.3.6.2

$4$ に $- 16$ をかけます。

$f''' (x) = - 64 \cos (4 x - 7)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 64 \cos (4 x - 7)$ の微分係数は $- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ です。

$- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

ステップ 4.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - 7$ とします。

$- 64 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 4.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- 64 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x - 7$ で置き換えます。

$- 64 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 4.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ に $- 64$ をかけます。

$64 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $4 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$64 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 4.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$64 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$64 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 4.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$64 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 4.3.6

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$64 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

ステップ 4.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$64 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

ステップ 4.3.7.2

$4$ に $64$ をかけます。

$f^{4} (x) = 256 \sin (4 x - 7)$

微分積分 例

微分積分例