微分積分例

$(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

ステップ 1

$(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ を関数で書きます。

$f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{5}{8}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

ステップ 4.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 \frac{1}{x}) d x d x$

ステップ 4.1.3

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + \frac{2}{x}) d x d x$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} d - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\frac{5 x^{4}}{8}$ と $d$ をまとめます。

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{2}{x}$ と $d$ をまとめます。

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2 d}{x}) x d x$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\int \frac{5 x^{4} d}{8} x - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\frac{5 x^{4} d}{8} x$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1.1

$\frac{5 x^{4} d}{8}$ と $x$ をまとめます。

$\int \frac{5 x^{4} d x}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

ステップ 4.5.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{5 d (x^{4} x^{1})}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

ステップ 4.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{5 d x^{4 + 1}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

ステップ 4.5.1.4

$4$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

ステップ 4.5.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.5.2.1

$x$ を移動させます。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x \cdot x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

ステップ 4.5.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 4.5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x^{1} x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

ステップ 4.5.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{1 + 2} d + \frac{2 d}{x} x d x$

ステップ 4.5.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

ステップ 4.5.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

ステップ 4.5.3.2

式を書き換えます。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + 2 d d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

ステップ 6

$\frac{5 d}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{5 d}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5 d}{8} \int x^{5} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{6} x^{6}$ です。

$\frac{5 d}{8} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

ステップ 8

$\frac{1}{6}$ と $x^{6}$ をまとめます。

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

ステップ 9

$- 3 d$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3 d$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d \int x^{3} d x + \int 2 d d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 d d x$

ステップ 11

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int 2 d d x$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 d x + C$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{5 d x^{6}}{48} - \frac{3 d x^{4}}{4} + 2 d x + C$

ステップ 14

括弧を削除します。

$\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$

微分積分 例

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