微分積分例

$\frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9

総和則では、 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ をたし算します。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 12

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 16

分子を簡約します。

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ステップ 16.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 16.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 17

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 18

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 19

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 20

指数を足して $x^{- \frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 20.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 20.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{- 1 + 1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 20.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{0}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 20.4

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{0}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 21

$x^{0}$ を簡約します。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 22

$(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 23

$(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 25

$2$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 26

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 27

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 28

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 29

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}$ に $\frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 30

簡約します。

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ステップ 30.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 30.2

分子を簡約します。

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ステップ 30.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 30.2.1.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 30.2.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 30.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 30.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 30.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 30.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 30.2.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 30.3

項をまとめます。

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ステップ 30.3.1

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 30.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 30.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例