微分積分例

$S (t) = 2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.7

$\frac{3}{2}$ と $t^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.8

$2$ と $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.9

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.10

$2$ を $6 t^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.11

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.11.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.11.3

式を書き換えます。

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.2.11.4

$3 t^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d t} [- 9 t]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 9$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 9 t$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.3.3

$- 9$ に $1$ をかけます。

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + \frac{d}{d t} [6]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$6$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + 0$

ステップ 1.4.2

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ と $0$ をたし算します。

$f' (t) = 3 t^{\frac{1}{2}} - 9$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ です。

$\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$3 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2.8

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2.9

$3$ と $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.2.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 9]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (t) = \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

$t$ に関する $S (t)$ の二次導関数は $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例