微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$- \frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{6} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.5

$\frac{- 4}{6}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.6

$- 4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [19 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$19$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $19 x^{2}$ の微分係数は $19 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 19 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 19 (2 x)$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ に $19$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 38 x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $- \frac{2 x^{3}}{3} + 38 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x^{3}}{3}$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2.4

$- 3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2.5

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2.6

$\frac{- 6}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2.7

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.7.1

$3$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.2.7.2.4

$- 2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [38 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$38$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $38 x$ の微分係数は $38 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x^{2} + 38 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{2} + 38 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.3

$38$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 38$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 x^{2} + 38$ です。

$- 2 x^{2} + 38$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x^{2} + 38 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x^{2} + 38 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $38$ を引きます。

$- 2 x^{2} = - 38$

ステップ 1.2.3

$- 2 x^{2} = - 38$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 2 x^{2} = - 38$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 38}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 38}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 38}{- 2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$- 38$ を $- 2$ で割ります。

$x^{2} = 19$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{19}$

ステップ 1.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{19}$

ステップ 1.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{19}$

ステップ 1.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - \sqrt{19}) \cup (- \sqrt{19}, \sqrt{19}) \cup (\sqrt{19}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - \sqrt{19})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 7$ で置換えます。

$f'' (- 7) = - 2 {(- 7)}^{2} + 38$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 7) = - 2 \cdot 49 + 38$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ に $49$ をかけます。

$f'' (- 7) = - 98 + 38$

ステップ 4.2.2

$- 98$ と $38$ をたし算します。

$f'' (- 7) = - 60$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 60$ です。

$- 60$

ステップ 4.3

$f'' (- 7)$ が負なので、区間 $(- \infty, - \sqrt{19})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \sqrt{19})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 38$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 38$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 38$

ステップ 5.2.2

$0$ と $38$ をたし算します。

$f'' (0) = 38$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $38$ です。

$38$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(\sqrt{19}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f'' (7) = - 2 {(7)}^{2} + 38$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$f'' (7) = - 2 \cdot 49 + 38$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $49$ をかけます。

$f'' (7) = - 98 + 38$

ステップ 6.2.2

$- 98$ と $38$ をたし算します。

$f'' (7) = - 60$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 60$ です。

$- 60$

ステップ 6.3

$f'' (7)$ が負なので、区間 $(\sqrt{19}, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(\sqrt{19}, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \sqrt{19})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(\sqrt{19}, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

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