微分積分例

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.4.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 1.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 1.4.4

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

ステップ 1.4.4.2

$x$ を $x - 2 \ln (x) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

ステップ 1.4.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

ステップ 1.4.4.2.3

$x$ を $- 2 \ln (x) x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

ステップ 1.4.4.2.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ で因数分解します。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

ステップ 1.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

ステップ 1.6

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = 1 - \ln (x^{2})$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $1 - \ln (x^{2})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.4.2

$x^{3}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$1$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.4.2.2.4

$x$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

ステップ 2.9

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 2.10

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 2.10.2

$x^{2}$ を $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1

$x^{2}$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 2.10.2.2

$x^{2}$ を $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

ステップ 2.10.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

ステップ 2.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 2.11.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 2.11.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

ステップ 2.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

ステップ 2.12.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

ステップ 2.12.2.1.2

$- 3 (- \ln (x^{2}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.2.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

ステップ 2.12.2.1.2.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (x^{2})$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

ステップ 2.12.2.1.3

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

ステップ 2.12.2.1.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

ステップ 2.12.2.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

ステップ 2.12.3

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

ステップ 2.12.4

$- 1$ を $\ln (x^{6})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

ステップ 2.12.5

$- 1$ を $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

ステップ 2.12.6

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.1.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.4

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.4.2

$x$ を $x - 2 \ln (x) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.4.2.3

$x$ を $- 2 \ln (x) x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

ステップ 4.1.4.4.2.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ で因数分解します。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

ステップ 4.1.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 4.1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 4.1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

ステップ 4.1.6

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x)$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ です。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \ln (x^{2}) = - 1$

ステップ 5.3.2

$- \ln (x^{2}) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- \ln (x^{2}) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2

$\ln (x^{2})$ を $1$ で割ります。

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\ln (x^{2}) = 1$

ステップ 5.3.3

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

ステップ 5.3.4

対数の定義を利用して $\ln (x^{2}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{1} = x^{2}$

ステップ 5.3.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

方程式を $x^{2} = e^{1}$ として書き換えます。

$x^{2} = e$

ステップ 5.3.5.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

ステップ 5.3.5.3

簡約します。

$x = \pm \sqrt{e}$

ステップ 5.3.5.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.3.5.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{e}$

ステップ 5.3.5.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{e}$

ステップ 5.3.5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 6.3

$\ln (x^{2})$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} \leq 0$

ステップ 6.4

$x$ について解きます。

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ステップ 6.4.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

ステップ 6.4.2

方程式を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{0}$

ステップ 6.4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.1

$\sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.4.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq | 0 |$

ステップ 6.4.2.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$| x | \leq 0$

ステップ 6.4.3

$| x | \leq 0$ を区分で書きます。

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ステップ 6.4.3.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 6.4.3.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 0$

ステップ 6.4.3.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 6.4.3.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 0$

ステップ 6.4.3.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 6.4.4

$x \leq 0$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x = 0$

ステップ 6.4.5

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 0$ を解きます。

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ステップ 6.4.5.1

$- x \leq 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.5.1.1

$- x \leq 0$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.4.5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.5.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.4.5.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{0}{- 1}$

ステップ 6.4.5.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.5.1.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq 0$

ステップ 6.4.5.2

$x \geq 0$ と $x < 0$ の交点を求めます。

解がありません

ステップ 6.4.6

解の和集合を求めます。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \sqrt{e}$

ステップ 8

$x = \sqrt{e}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

${\sqrt{e}}^{6}$ を $e^{3}$ に書き換えます。

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ステップ 9.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e}$ を $e^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.1.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.1.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.2

対数の法則を利用して指数の外に $3$ を移動します。

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.1.6

$5$ から $3$ を引きます。

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

ステップ 9.2

${\sqrt{e}}^{4}$ を $e^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 9.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e}$ を $e^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

ステップ 9.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

ステップ 9.2.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

ステップ 9.2.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 9.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

ステップ 9.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

ステップ 9.2.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

ステップ 9.2.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$- \frac{2}{e^{2}}$

ステップ 10

$x = \sqrt{e}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{e}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \sqrt{e}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{e}$ で置換えます。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

${\sqrt{e}}^{2}$ を $e$ に書き換えます。

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ステップ 11.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e}$ を $e^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

ステップ 11.2.1.5

簡約します。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ です。

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

ステップ 12

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ の極値です。

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例