微分積分例

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 1

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 5.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

ステップ 5.2

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$\int \sin^{3} (t) d t$

ステップ 6

$\sin^{2} (t)$ を因数分解します。

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

ステップ 7

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (t)$ を $1 - \cos^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

ステップ 8

$u = \cos (t)$ とします。次に $d u = - \sin (t) d t$ すると、 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = \cos (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$\cos (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 8.1.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$- \sin (t)$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - 1 + u^{2} d u$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$- u + C + \int u^{2} d u$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 12

簡約します。

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 13.1

$u$ のすべての発生を $\cos (t)$ で置き換えます。

$- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C$

ステップ 13.2

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$

微分積分 例

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