微分積分例

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$

ステップ 1

この微分係数は商の法則を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$ は $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ の不定積分ですので、定義により $\frac{d}{d x} [\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x]$ は $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ です。

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

ステップ 3.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 3.3.2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 3.3.3

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 3.4

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 3.4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 3.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \cos^{2} (x)$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.1.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 3.7.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 3.7.1.3

式を書き換えます。

$\cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 3.7.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ と $\cos^{2} (x)$ をまとめます。

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 3.7.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.7.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\cos^{2} (x)$ をまとめます。

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.7.3.2

指数を足して $\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.7.3.2.1

$\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 3.7.3.2.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.7.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)}$

ステップ 3.7.3.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8

各項を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8.2

分数を分解します。

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8.4

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8.5

$\cos (x)$ を $\cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8.6

分数を分解します。

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8.7

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cot (x)$

ステップ 3.8.8

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \cos^{2} (x) \cot (x)$

微分積分 例

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