微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 3.1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.1.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} d x$

ステップ 3.1.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.2.1

$x^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2.2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

ステップ 3.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

ステップ 3.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{- \frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ です。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ を $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ に書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 6

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

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